Question

如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=AC=

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，AA′=1，点M、N分别为A′B，B′C′的中点
（1）证明：平面AA′B′B⊥平面AA′C′C；
（2）求直线MN与平面AA′B′B所成角的正切值；
（3）求三棱锥A′-MNC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明CA⊥平面AA′B′B，可得平面AA′B′B⊥平面AA′C′C；
（2）取A′B′的中点D，连接MD，则ND⊥平面AA′B′B，∠NMD为直线MN与平面AA′B′B所成角，即可求直线MN与平面AA′B′B所成角的正切值；
（3）利用V_A′-MNC=V_N-A′MC=

1

2

V_N-A′BC=

1

2

V_A′-NBC，求三棱锥A′-MNC的体积．

解答： （1）证明：∵∠BAC=90°，
∴CA⊥AB，
∵CA⊥AA′，AA′∩AB=A，
∴CA⊥平面AA′B′B，
∵CA?平面AA′C′C，
∴平面AA′B′B⊥平面AA′C′C；
（2）解：取A′B′的中点D，连接MD，则ND⊥平面AA′B′B，
∴∠NMD为直线MN与平面AA′B′B所成角，
∵点M为A′B的中点，AC=

2

，AA′=1，
∴DN=

2

2

，DM=

1

2

，
∴tan∠NMD=

2

；
（3）解：连结BN，由题意A′N⊥B′C′，
∵平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′，
∴A′N⊥平面NBC．
又A′N=

1

2

B′C′=1，
故V_A′-MNC=V_N-A′MC=

1

2

V_N-A′BC=

1

2

V_A′-NBC=

1

6

．

点评：本题考查线面垂直、平面与平面垂直的证明，考查线面角，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．