Question

已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称函数f（x）为F-函数．给出下列函数：
①f（x）=x²；
②f(x)=

x

x2+1

；
③f（x）=2^x；
④f（x）=sin2x．
其中是F-函数的序号为（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,新定义

分析：本题是一个新定义的题目，故依照定义的所给的规则对所四个函数进行逐一验证，选出正确的即可．

解答： 解：对于①，f（x）=x²，当x≠0时，|f（x）|≤m|x|，即|x|≤m，显然不成立，故其不是F-函数．
对于②f（x）=

x

x2+1

，|f（x）|=

|x|

x2+1

≤1×|x|，故函数f（x）为F-函数．
对于③f（x）=2^x，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F函数．
对于 ④f（x）=sin2x，由于|f（x）|=|sin2x|≤|2x|=2|x|，故函数f（x）为F-函数．
故正确序号为 ②④，
故选：C．

点评：本题考查根据所给的新定义来验证函数是否满足定义中的规则，是函数知识的给定应用题，综合性较强，做题时要注意运用所深知识灵活变化进行证明．