题目内容

已知数列{an}中，an＞0，其前n项和为Sn，且Sn=
1
8
（an+2）2，
（1）求证数列{an}为等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
考点：等差关系的确定,等差数列的通项公式
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）根据等差数列的定义即可得到结论．
（2）根据an与Sn的关系，即可求出{an}的通项公式，
解答： 解：（1）∵Sn=
1
8
（an+2）2，
∴8Sn=（an+2）2，
∴8Sn+1=（an+1+2）2，
两式相减得8Sn+1-8Sn=（an+1+2）2-（an+2）2，
即8an+1=（an+1+2）2，
∴（an+1）2-（an）2-4（an+1+an）=0，
即（an+1-an）（an+1+an）-4（an+1+an）=（an+1-an-4）（an+1+an）=0，
∵an＞0，∴an+1+an＞0，
∴an+1-an-4=0，
即an+1-an=4为常数，
∴数列{an}为等差数列；
（2）∵an+1-an=4，
∴数列{an}等差d=4的等差数列，
∵Sn=
1
8
（an+2）2，
∴当n=1时，a1=
1
8
（a1+2）2，
解得a1=2．
∴an=a1+（n-1）d=2+4（n-1）=4n-2．
点评：本题主要考查等差数列的判断以及等差数列的通项公式的计算，考查学生的推理和判断能力．
练习册系列答案
相关题目
设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=2x．若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥f2（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　）
A、（-∞，-2]
B、（0，2]
C、(-∞，-
3
2
]
D、[-
3
2
，+∞)
已知数列{an}、{bn}满足：a1=2，an+1=
2
an+1
，bn=
an+2
an-1
．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求使|an-1|＜
1
2n
成立的正整数n的集合．
已知函数f（x）=x+
2a2
x
-alnx（a∈R）．
（1）当a≥0时，讨论函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=x2-2bx+4-ln2，当a=1时，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．
（3）求证：ln(n+1)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
+
n
n+1
．
已知数列{an}满足：a1=a，an+1=1+
1
an
．若
3
2
＜an＜2（n≥4），求a的取值范围．
已知函数f（x）=x3-ax，g(x)=
1
2
x2-lnx-
5
2

（1）若对一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）-x2+5x-3恒成立，求实数a的取值范围；
（2）记G(x)=
1
2
x2-
5
2
-g(x)，求证：G(x)＞
1
ex
-
2
ex
．
已知定义在R上的函数f(x)=
b-2x
2x+1
是奇函数
（1）求b的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t-2t2）+f（-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
设f(x)=a-
2
2x+1
，其中a为常数；
（1）f（x）为奇函数，试确定a的值；
（2）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），不等式|f（x）|≤|2x2+4x-30|对任意实数x恒成立，则f（x）的最小值是
 
．

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