Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=S₉＞0，则S₁₂=

 

，使得S_n取最大值时的自然数n的值为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出6a₁+33d=0，从而得到S₁₂=2（a₁+33d）=0.a1=-

11

2

d，S_n=

d

2

(n-6)2-18d，由此能求出使得S_n取最大值时的自然数n的值为6．

解答： 解：∵已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=S₉＞0，
∴3a₁+

3×2

2

d=9a₁+

9×8

2

d，
∴6a₁+33d=0，
∴S₁₂=12a₁+

12×11

2

d=2（6a₁+33d）=0．
由6a₁+33d=0，得a1=-

11

2

d，
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

d
=-

11

2

dn+

d

2

n2-

d

2

n
=

d

2

（n²-12n）
=

d

2

(n-6)2-18d，
∴使得S_n取最大值时的自然数n的值为6．
故答案为：0，6．

点评：本题考查等差数列的前12项和的求法，考查等差数列的前n项和取得最大值时的n的求法，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．