Question

20．已知O是△ABC所在平面内一点，若对任意k∈R，恒有|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$-k$\overrightarrow{BC}$|≥|$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{CO}$|，则△ABC一定是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 钝角三角形
• C． 锐角三角形
• D． 不确定

Answer 1

分析 运用两边平方，结合向量的平方即为模的平方，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，可得k²a²-2kcacosB+c²-b²≥0，运用判别式小于等于0，化简整理，结合正弦定理和正弦函数的值域，可得三角形的形状．

解答 解：|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$-k$\overrightarrow{BC}$|≥|$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{CO}$|，
即为|$\overrightarrow{BA}$-k$\overrightarrow{BC}$|≥|$\overrightarrow{AC}$|，
两边平方可得，$\overrightarrow{BA}$²+k²$\overrightarrow{BC}$²-2k$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$≥$\overrightarrow{AC}$²，
设△ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，
即有c²+k²a²-2kcacosB≥b²，
即k²a²-2kcacosB+c²-b²≥0，
由题意可得△=4c²a²cos²B-4a²（c²-b²）≤0，
化为b²≤c²-c²cos²B，
即为b≤csinB，
由正弦定理可得b≤bsinC，
则sinC≥1，但sinC≤1，则sinC=1，可得C=90°．
即三角形ABC为直角三角形．
故选：A．

点评 本题考查向量不等式恒成立问题的解法，考查三角形的形状判断和正弦定理的运用，运用向量的平方即为模的平方，以及二次不等式恒成立问题的解法是解题的关键，属于中档题．