Question

8．定义$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$为n个正数p₁，p₂…，p_n的“均倒数”．若数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{3n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{6}$，则$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{9}{b}_{10}}$=（　　）

• A． $\frac{1}{11}$
• B． $\frac{10}{11}$
• C． $\frac{9}{10}$
• D． $\frac{11}{12}$

Answer 1

分析 由$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{3n+1}$，可得a₁+a₂+…+a_n=3n²+n，利用递推关系可得a_n，再利“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{3n+1}$，
∴a₁+a₂+…+a_n=3n²+n，
∴a₁=4；n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1=3（n-1）²+（n-1），∴a_n=6n-2．（n=1时也成立）．
∴a_n=6n-2．
∴b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{6}$=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{9}{b}_{10}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{9}-\frac{1}{10}）$=1-$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{10}$．
故选：C．

点评 本题考查了新定义、递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．