Question

10．过点P（1，1）作直线l，分别交x，y正半轴于A，B两点．
（1）若直线l与直线x-3y+1=0垂直，求直线l的方程；
（2）若直线l在y轴上的截距是直线l在x轴上截距的2倍，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．
（2）对直线l分类讨论：经过原点时直接得出；不经过原点时，设直线l：y-1=k（x-1）（k＜0），可得y轴上的截距为：y=1-k，x轴上的截距为：$x=\frac{k-1}{k}$．由题意可得$1-k=2\frac{k-1}{k}$，解得k即可得出．

解答 解：（1）设直线l的斜率为k，∵直线l与直线x-3y+1=0垂直，
∴$\frac{1}{3}$k=-1，解得k=-3．
∴直线方程为y-1=-3（x-1），化为3x+y-4=0．
（2）经过原点的直线：y=x也满足条件．
直线l不经过原点时，设直线l：y-1=k（x-1）（k＜0）；
y轴上的截距为：y=1-k，x轴上的截距为：$x=\frac{k-1}{k}$．
∵$1-k=2\frac{k-1}{k}$，解得k=-2；
∴直线方程为：2x+y-3=0．
综上可得：直线方程为：2x+y-3=0或y=x．

点评 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、直线的截距，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．