Question

4．空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M，N分别是BC与AD的中点，设AM和CN所成角为α，则cosα的值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 设O为MD的中点，连结ON、OC，则ON$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AM，从而∠ONC或其补角为异面直线AM与CN所成的角．由此能求出cosα的值．

解答 解：如图，设O为MD的中点，连结ON、OC，则ON$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AM．∴∠ONC或其补角为异面直线AM与CN所成的角．
∵ON=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴OC=$\sqrt{M{C}^{2}+M{O}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}{a}^{2}+\frac{3}{16}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$a．
在△CON中，由余弦定理可得
cos∠CNO=$\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{3}{16}{a}^{2}-\frac{7}{16}{a}^{2}}{2•\frac{\sqrt{3}}{4}a•\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{2}{3}$．
∴cosα=$\frac{2}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意异面直线所成角的余弦值的求法．