Question

已知曲线C₁上任意一点M到直线l：x=4的距离是它到点F（1，0）距离的2倍；曲线C₂是以原点为顶点，F为焦点的抛物线．
（Ⅰ）求C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）过F作两条互相垂直的直线l₁，l₂，其中l₁与C₁相交于点A，B，l₂与C₂相交于点C，D，求四边形ACBD面积的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设M（x，y），由已知条件推导出2

(x-1)2+y2

=|x-4|，由此能求出C₁的方程；由曲线C₂是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线，能求出C₂的方程．
（Ⅱ）由题意设l₂的方程为x=ky+1，代入y²=4x，得y²-4ky-4=0，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），从而求出|CD|=4（k²+1）．由l₁⊥l₂，设l₁的方程为y=-k（x-1），由此求出|AB|=

12(k2+1)

4k2+3

．由此能求出四边形ABCD面积的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设M（x，y），
∵曲线C₁上任意一点M到直线l：x=4的距离是它到点F（1，0）距离的2倍，
∴2

(x-1)2+y2

=|x-4|，
化简得：

x2

4

+

y2

3

=1．
∴C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
∵曲线C₂是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线，
∴C₂的方程为y²=4x．（4分）
（Ⅱ）由题意设l₂的方程为x=ky+1，代入y²=4x，得y²-4ky-4=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则y₁+y₂=4k，
∴|CD|=|CF|+|DF|=x₁=1+x₂+1
=k（y₁+y₂）+4=4（k²+1）．（7分）
∵l₁⊥l₂，∴设l₁的方程为y=-k（x-1），
代入

x2

4

+

y2

3

=1得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），则x₃+x₄=

8k2

4k2+3

，
∴|AB|=|AF|+|BF|=

1

2

(4-x3)+

1

2

(4-x4)=4-

1

2

（x₃+x₄）=

12(k2+1)

4k2+3

.10分
∴四边形ACBD的面积为：
S=

1

2

|AB|•|CD|=

24(k2+1)

4k2+3

=

24t2

4t-1

=

3

2

(4t-1+

1

4t-1

+2)=

3

2

(s+

1

s

+2)，（其中t=k²+1≥1，s=4t-1≥3）．
设f（s）=s+

1

s

（s≥3），
则f′(s)=1-

1

s2

=

s2-1

s2

＞0，
∴f（s）在[3，+∞）单调递增，
∴S=

3

2

（s+

1

s

+2）≥

3

2

（3+

1

3

+2）=8，
当且仅当s=3，即k=0时等号成立．
∴四边形ABCD面积的取值范围为[8，+∞）．（13分）．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查四边形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．