Question

15．已知函数f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3．
（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
（2）指出由函数y=3sin$\frac{x}{2}$通过怎样的变换可以得到函数f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3的图象并求函数f（x）的单调区间；
（3）若x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π得到相应的x的值，列表描点即可；
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）+b变换规律，将y=3sin$\frac{x}{2}$沿x轴向左平移$\frac{π}{3}$单位可得：y=3sin$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），将y=3sin$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$）沿y轴向上平移3个单位可得：f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3的图象，根据图象写出周期，由 2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x的范围，即得单调增区间，
（3）由x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，根据正弦函数的图象及性质可知：3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3∈[$\frac{9}{2}$，6]．

解答 解：（1）令$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π，得到相应的x的值，列表如下：

x	-$\frac{π}{3}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{8π}{3}$	$\frac{11π}{3}$
$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	3	6	3	0	3

…2分
描点，用光滑的曲线把各点连接，作图如下：
…6分
（2）数f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3
将y=3sin$\frac{x}{2}$沿x轴向左平移$\frac{π}{3}$单位可得：y=3sin$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），将y=3sin$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$）沿y轴向上平移3个单位可得：f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3的图象，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴其增区间为[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z），
（3）由x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3∈[$\frac{9}{2}$，6]，
∴当$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即x=$\frac{4π}{3}$，f（x）取最小值$\frac{9}{2}$，
当$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，即x=$\frac{2π}{3}$时，f（x）取最大值为6．…12分

点评 本题考查用五点法作y=Asin（ωx+φ）+b的图象，以及函数的性质、图象变换，用五点法作y=Asin（ωx+φ）+b的图象，是解题的关键，属于中档题．