Question

20．已知数列{a_n}的各项均不为0，其前n项和为S_n，且满足a₁=a，2S_n=a_na_n+1．
（1）求a₂的值；
（2）求证{a_2n}是等差数列；
（3）若a=-9，求数列{a_n}的通项公式a_n，并求S_n．

Answer 1

分析 （1）在2S_n=a_na_n+1式中将n=1代入即可求出a₂的值；
（2）由2S_n=a_na_n+1，可得n≥2时，2S_n-1=a_n-1a_n，两式相减可得递推关系式2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），因为a_n≠0，所以a_n+1-a_n-1=2，可证数列{a_2k}为等差数列；
（3）由（2）{a_2k-1}，{a_2k}都是公差为2的等差数列，分n为奇数与偶数分别求通项公式与和即可．

解答 （1）解：∵2S_n=a_na_n+1，∴n=1时，2S₁=a₁a₂，即2a₁=a₁a₂，∵a₁=a≠0，∴a₂=2．
（2）证明：∵2S_n=a_na_n+1，∴n≥2时，2S_n-1=a_n-1a_n，∴2a_n=2S_n-2S_n-1=a_na_n+1-a_n-1a_n，∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2，∴a_2n+2-a_2n=2．∴{a_2n}是等差数列，首项为2，公差为2．
（3）解：由（2）可得：{a_2n-1}，{a_2n}都是公差为2的等差数列，
当n=2k（k∈N^*）时，a_n=2+2（k-1）=2k=n；
当n=2k-1时，a_n=a₁+2（k-1）=-9+2k-2=2k-11=n-10．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n-10，n为奇数}\\{n，n为偶数}\end{array}\right.$，
${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（n-10）（n+1），n为奇数}\\{\frac{1}{2}n（n-9），n为偶数}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．