Question

10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）部分图象如图所示，点P为f（x）与x轴的交点，点A，B分别为f（x）图象的最低点与最高点，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|²．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若x∈[-1，1]，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设函数f（x）的周期是T、P（a，0），由图象和周期性表示出A、B的坐标，根据向量的坐标运算和向量的数量积运算化简已知的式子，求出T后由周期公式求出ω；
（2）由（1）和x的范围求出f（x）、ωx+φ范围，利用正弦函数的性质求出f（x）的取值范围．

解答 解：（1）设函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期是T，P（a，0），
则A（a+$\frac{T}{4}$，-1），B（a+$\frac{3T}{4}$，1），
∴$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{T}{4}$，-1），$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{3T}{4}$，1），
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|²，∴$\frac{3{T}^{2}}{16}-1=\frac{{T}^{2}}{16}+1$，解得T=4，
由T=$\frac{2π}{ω}=4$得，ω=$\frac{π}{2}$；
（2）由（1）得，f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+φ），
∵x∈[-1，1]，∴$\frac{π}{2}x+φ∈[-\frac{π}{2}+φ，\frac{π}{2}+φ]$，
又0＜φ＜π，则$-\frac{π}{2}＜-\frac{π}{2}+φ＜\frac{π}{2}，\frac{π}{2}＜\frac{π}{2}+φ＜\frac{3π}{2}$，
∴sin（$\frac{π}{2}$x+φ）∈（-1，1），
即f（x）的取值范围是（-1，1）．

点评 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象解析式的确定，向量数量积的坐标运算，以及正弦函数的性质，属于中档题．