Question

3．如图，边长为$\sqrt{2}$的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，CD=BC=$\frac{1}{2}$AB=1，AE∩DF=O，M为EC的中点．
（Ⅰ）证明：OM∥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-AB-E的正切值；
（Ⅲ）求BF与平面ADEF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出OM∥AC，由此能证明OM||平面ABCD．
（Ⅱ）取AB中点H，连接DH，则∠EHD为二面角D-AB-E的平面角，由此能求出二面角D-AB-E的正切值．
（Ⅲ）推导出BD⊥DA，从而BD⊥平面ADEF，由此得到∠BFD的余弦值即为所求．

解答 证明：（Ⅰ）∵O，M分别为EA，EC的中点，
∴OM∥AC…．（2分）
∵OM?平面ABCD，AC?平面ABCD…．（3分）
∴OM||平面ABCD   …．（4分）
解：（Ⅱ）取AB中点H，连接DH，EH∵DA=DB∴DH⊥AB，…．（5分）
又EA=EB∴EH⊥AB…．（6分）
∴∠EHD为二面角D-AB-E的平面角  …．（7分）
又DH=1，∴$tan∠EHD=\frac{ED}{DH}=\sqrt{2}$，
∴二面角D-AB-E的正切值为$\sqrt{2}$．…．（8分）
（Ⅲ）∵DC=BC=1，∠BCD=90°，
∴$BD=\sqrt{2}$∵$AD=\sqrt{2}，AB=2$．
∴BD⊥DA…．（9分）
∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面ADEF…．（10分）
∴∠BFD的余弦值即为所求…（11分）
在$Rt△BDF中，∠BDF=Rt∠，DF=2，BF=\sqrt{6}$，
∴$cos∠BFD=\frac{DF}{BF}=\frac{2}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…．（12分）
∴$BF与平面ADEF所成角的余弦值为\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…．（13分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．