Question

4．如图，设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OD}$+x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OA}$，则x+y=-1．

Answer 1

分析 根据向量加法的平行四边形法则便有$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$，再根据向量减法的几何意义，及向量的数乘运算便可得到$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{OA}$，这样便可求出x，y，从而求出x+y的值．

解答 解：根据题意，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$
=$\frac{1}{2}（-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}）$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{OA}$
∴$x=\frac{1}{2}，y=-\frac{3}{2}$；
∴x+y=-1．
故答案为：-1．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．