Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，长轴长为4，过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x²+y²=a²于相异两点P，Q．
（1）若直线l的斜率为$\frac{1}{2}$，求$\frac{AP}{AQ}$的值；
（2）若$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{AP}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a=2，运用离心率公式和a，b，c的关系可得b，c，进而得到椭圆方程和圆的方程，设出直线l的方程代入椭圆方程，求得弦长AP，运用圆的弦长公式可AQ，进而所求之比；或联立直线的方程和椭圆方程（或圆的方程）求得P，Q的纵坐标，即可得到所求之比；
（2）若$\overrightarrow{PQ}=λ\overrightarrow{AP}$，则$λ=\frac{AQ}{AP}-1$，设直线l：y=k（x+2），代入椭圆方程，求得交点，以及弦长AP，代入圆方程可得交点，可得弦长AQ，可得实数λ的式子，运用不等式的性质即可得到所求范围；或将直线方程代入椭圆方程（圆方程）求得P，Q的纵坐标，由坐标之比，结合不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由条件可得，2a=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
可得椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，圆的方程为x²+y²=4；
（方法一）直线l的方程为$y=\frac{1}{2}（{x+2}）$，由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}（{x+2}）\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$得：3x²+4x-4=0，
解得${x_A}=-2，{x_p}=\frac{2}{3}$，所以$P（{\frac{2}{3}，\frac{4}{3}}）$；
所以$AP=\sqrt{{{（{\frac{2}{3}+2}）}^2}+{{（{\frac{4}{3}}）}^2}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$，又因为原点O到直线l的距离$d=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
所以$AQ=2\sqrt{4-\frac{4}{5}}=\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$，
所以$\frac{AP}{AQ}=\frac{{\frac{{4\sqrt{5}}}{3}}}{{\frac{{8\sqrt{5}}}{5}}}=\frac{5}{6}$；
（方法二）由$\left\{\begin{array}{l}x=2y-2\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$得3y²-4y=0，所以y_P=$\frac{4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2y-2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$可得5y²-8y=0，解得y_Q=$\frac{8}{5}$，
所以$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{{y}_{P}}{{y}_{Q}}$=$\frac{4}{3}$×$\frac{5}{8}$=$\frac{5}{6}$；
（2）（方法一）若$\overrightarrow{PQ}=λ\overrightarrow{AP}$，则$λ=\frac{AQ}{AP}-1$，
设直线l：y=k（x+2），由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=4\\ y=k（{x+2}）\end{array}\right.$得，（2k²+1）x²+8k²-4=0，
即（x+2）[（2k²+1）x+（4k²-2）]=0，
所以${x_A}=-2，{x_P}=\frac{{2-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，得$P（{\frac{{2-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，\frac{4k}{{2{k^2}+1}}}）$；
所以$A{P^2}={（{\frac{{2-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}+2}）^2}+{（{\frac{4k}{{2{k^2}+1}}}）^2}=\frac{{16+16{k^2}}}{{{{（{2{k^2}+1}）}^2}}}$，
即$AP=\frac{{4\sqrt{{k^2}+1}}}{{2{k^2}+1}}$，同理Q（$\frac{2-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$），$AQ=\frac{4}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
即有λ=$\frac{\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+1}}}{\frac{4\sqrt{{k}^{2}+1}}{2{k}^{2}+1}}$-1=1-$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，
由k²＞0，可得0＜k²＜1．
（方法二）由方法一可得，λ=$\frac{AQ}{AP}$-1=$\frac{{y}_{Q}}{{y}_{P}}$-1=$\frac{\frac{4k}{{k}^{2}+1}}{\frac{4k}{2{k}^{2}+1}}$-1=1-$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，
由题意：k²＞0，所以0＜λ＜1．

点评 本题考查椭圆的方程和圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查弦长之比，注意运用弦长公式和向量的坐标之比，考查向量共线的坐标以及化简整理的运算能力，属于中档题．