题目内容
10．记f（n）=（3n+2）（C${\;}_{2}^{2}$+C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$）（n≥2，n∈N*）．（1）求f（2），f（3），f（4）的值；
（2）当n≥2，n∈N*时，试猜想所有f（n）的最大公约数，并证明．
分析 （1）由组合数的性质可得f（n）=（3n+2）Cn+13，代值计算即可，
（2）由（1）中结论可猜想所有f（n）的最大公约数为4．用数学归纳法证明所有的f（n）都能被4整除即可．
解答 解：（1）因为f（n）=（3n+2）（C22+C32+C42+…+Cn2）=（3n+2）Cn+13，
所以f（2）=8，f（3）=44，f（4）=140．
（2）由（1）中结论可猜想所有f（n）的最大公约数为4．
下面用数学归纳法证明所有的f（n）都能被4整除即可．
（ⅰ）当n=2时，f（2）=8能被4整除，结论成立；
（ⅱ）假设n=k时，结论成立，即f（k）=（3k+2）Ck+13能被4整除，
则当n=k+1时，f（k+1）=（3k+5）Ck+23=（3k+2）Ck+13+3Ck+23=（3k+2）（Ck+13+Ck+12）+（k+2）Ck+12，
=（3k+2）Ck+13+（3k+2）Ck+12+（k+2）Ck+12，
=（3k+2）Ck+13+4（k+1）Ck+12，
此式也能被4整除，即n=k+1时结论也成立．
综上所述，所有f（n）的最大公约数为4．
点评 本题考查数学归纳法，考查推理证明的能力，假设n=k（k∈N*）时命题成立，去证明则当n=k+1时，用上归纳假设是关键，属于中档题．
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