Question

12．已知函数f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（1）在给出的直角坐标系中作出函数y=f（x）的图象，并从图中找出满足不等式f（x）≤3的解集；
（2）若函数y=f（x）的最小值记为m，设a，b∈R，且有a²+b²=m，试证明：$\frac{1}{{{a^2}+1}}+\frac{4}{{{b^2}+1}}≥\frac{18}{7}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的分段函数的形式，画出函数的图象，结合图象求出不等式的解集即可；
（2）求出m的值，得到${a^2}+1+{b^2}+1=\frac{7}{2}$，根据不等式的性质证明即可．

解答 解：（1）因为f（x）=|2x-1|+|x+1|=$\left\{{\begin{array}{l}{-3x，x＜-1}\\{-x+2，-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，
所以作出函数f（x）的图象如图所示．

从图中可知满足不等式f（x）≤3的解集为[-1，1]．
（2）证明：从图中可知函数y=f（x）的最小值为$\frac{3}{2}$，即$m=\frac{3}{2}$．
所以${a^2}+{b^2}=\frac{3}{2}$，从而${a^2}+1+{b^2}+1=\frac{7}{2}$，
故$\frac{1}{{{a^2}+1}}+\frac{4}{{{b^2}+1}}$=$\frac{2}{7}$[（a²+1）+（b²+1）]（$\frac{1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{4}{{b}^{2}+1}$）
=$\frac{2}{7}[5+（\frac{{{b^2}+1}}{{{a^2}+1}}+\frac{{4（{a^2}+1）}}{{{b^2}+1}}）]≥$$\frac{2}{7}[5+2\sqrt{\frac{{{b^2}+1}}{{{a^2}+1}}•\frac{{4（{a^2}+1）}}{{{b^2}+1}}}]=\frac{18}{7}$，
当且仅当$\frac{{{b^2}+1}}{{{a^2}+1}}=\frac{{4（{a^2}+1）}}{{{b^2}+1}}$时，等号成立，
即${a^2}=\frac{1}{6}$，${b^2}=\frac{4}{3}$时，原式有最小值，
所以$\frac{1}{{{a^2}+1}}+\frac{4}{{{b^2}+1}}≥\frac{18}{7}$得证．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及数形结合思想，考查不等式的性质，是一道中档题．