Question

已知函数f（x）=x-

1

x

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数；
（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于

11a-2

2a

，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）判断出函数是奇函数再证明，确定函数定义域且关于原点对称，利用奇函数的定义可判断；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明按照取值、作差、变形定号、下结论步骤即可；
（3）根据（2）的结论得函数在区间[2，a]上的单调性，再求出最大值、最小值，根据条件列出不等式求出a得范围．

解答： 解：（1）函数f(x)=x-

1

x

是奇函数．…（1分）
∵定义域：（-∞，0）∪（0，+∞），定义域关于原点对称，…（2分）
且f(-x)=-x+

1

x

=-(x-

1

x

)=-f(x)  …（3分）
∴函数f(x)=x-

1

x

是奇函数．…（4分）
（2）证明：设任意实数x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂  …（5分）
则f(x1)-f(x2)=x1-

1

x1

-（x2-

1

x2

）═x1-x2-

1

x1

+

1

x2

═x1-x2-

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)=

(x1-x2)(x1x2+1)

x1x2

   …（6分）
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈[1，+∞）
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂+1＞0，…（7分）
∴

(x1-x2)(x1x2+1)

x1x2

＜0   …（8分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）    …（9分）
∴函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数．…（10分）
（3）∵[2，a]⊆[1，+∞）
∴函数f（x）在区间[2，a]上也为增函数．…（11分）
∴f(x)max=f(a)=a-

1

a

，f(x)min=f(2)=2-

1

2

=

3

2

   …（12分）
若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于

11a-2

2a

，
则a-

1

a

+

3

2

≥

11a-2

2a

=

11

2

-

1

a

  …（13分）
解得a≥4，
∴a的取值范围是[4，+∞）．…（14分）

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性的判断方法，及函数的最值问题，把握定义法证明函数的单调性：取值、作差、变形定号、下结论步骤证明．