Question

如图，一个几何体是由圆柱OO′和三棱锥E-ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2

（Ⅰ）求证：AC⊥BD；
（Ⅱ）求O′到平面ABD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知中EA⊥平面ABC，由线面垂直的性质可得ED⊥AC，结合AC⊥AB，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面EBD，再由线面垂直的性质得到AC⊥BD．
（Ⅱ）设圆O的半径为r，圆柱高为h，由已知条件解得

r=2 h=2

，以D为原点，以DD₁为x轴，以过点D在⊙O′所在平面内垂直于DD₁的直线为y轴，利用向量法能求出O′到平面ABD的距离．

解答： （Ⅰ）证明：∵EA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴EA⊥AC，即ED⊥AC．
又∵AC⊥AB，AB∩ED=A，
∴AC⊥平面EBD．
∵BD?平面EBD，∴AC⊥BD．
（Ⅱ）解：∵A、B、C在圆O的圆周上，且AB⊥AC，
∴BC是圆O的直径，
设圆O的半径为r，圆柱高为h，
∵正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，
A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2，
∴

2rh+ 1 2 r×2=10 2rh+ 1 2 ×2r+2=12

，解得

r=2 h=2

，
以D为原点，以DD₁为x轴，以过点D在⊙O′所在平面内垂直于DD₁的直线为y轴，
以DA为z轴，建立空间直角坐标系，
由（1）知，AC⊥BD，又因为AC⊥AB，AB∩BD=B，
∴AC⊥平面ABD．
∵A（0，0，2），C（2，-2，2），O′（2，0，0），

AC

=(2，-2，0)是平面ABD的一个法向量，

AO′

=(2，0，-2)，
∴O′到平面ABD的距离d=

| AO′ • n |

| n |

=

|4|

2 2

=

2

．

点评：本题考查的知识点是由几何体的结构特征得到线线垂直，进而建立空间坐标系，利用向量法求解点到平面的距离．