题目内容

16．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个单位向量．
（Ⅰ）若|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=2，试求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，试求向量$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值．

分析 （Ⅰ）根据平面向量的数量积与模长公式，先求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值，再求出|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
（Ⅱ）根据平面向量的数量积与夹角公式，即可求出$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$夹角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个单位向量，
当|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=2时，${（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4${\overrightarrow{b}}^{2}$=1-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4=4，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{4}$，
∴${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=1-2×$\frac{1}{4}$+1=$\frac{3}{2}$，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$，
又向量$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3${\overrightarrow{b}}^{2}$=1-2×$\frac{1}{2}$-3×1=-3，
|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{1+2×\frac{1}{2}+1}$=$\sqrt{3}$，
|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{9\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{1-6×\frac{1}{2}+9}$=$\sqrt{7}$，
∴$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$的夹角θ的余弦值为
cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|×|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{3}×\sqrt{7}}$=-$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与模长公式以及夹角公式的应用问题，是基础题目．

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