Question

6．已知函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=-f（x+4），若函数y=$\frac{1}{2-x}$与y=f（x）图象的交点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_m，y_m），则$\sum_{i=1}^m$（x_i+y_i）=（　　）

• A． 0
• B． m
• C． 2m
• D． 4m

Answer 1

分析 由题意可得f（x）的图象关于点（0，2）对称，函数而函数y=$\frac{1}{2-x}$的图象也关于点（0，2）对称，分m为奇数和偶数两种情况讨论即可求出答案

解答 解：函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=-f（x+4），
∴f（x）的图象关于点（0，2）对称，
而函数y=$\frac{1}{2-x}$的图象也关于点（0，2）对称，
当m为偶数时，
∴x₁+x_m =x₂+x_m-1 =x₃+x_m-2 =…=0，y₁+y_m=y₂+y_m-1=y₃+y_m-2 =…=4，
∴$\sum_{i=1}^m$（x_i+y_i）=$\underset{\underbrace{2+2+…+2}}{m个}$=2m，
当m为奇数时，
∴x₁+x_m =x₂+x_m-1 =x₃+x_m-2 =…=${x}_{\frac{m+1}{2}}$，y₁+y_m=y₂+y_m-1=y₃+y_m-2 =…=2y${\;}_{\frac{m+1}{2}}$=4，
∴$\sum_{i=1}^m$（x_i+y_i）=$\underset{\underbrace{2+2+…+2}}{m个}$=2m，
综上所述则$\sum_{i=1}^m$（x_i+y_i）=2m，
故选：C

点评 本题考查了函数图象的识别和中心对称的性质，属于中档题．