Question

1．某种产品的广告支出x与销售额y（单位：万元）之间有如表对应关系：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

（Ⅰ） 假设y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程；
（Ⅱ） 求相关指数R²，并证明残差变量对销售额的影响占百分之几？

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
（Ⅱ）利用公式求出相关指数R²，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ） $\overline{x}=5$，$\overline{y}=50$；$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_j}}=1380$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=145$；-----（2分）
则：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-n\bar x\bar y}}}{{\sum_{i=1}^5{x_i^2-n{{\bar x}^2}}}}=\frac{1380-5×5×50}{{145-5×{5^2}}}=6.5$；$\hat a=\hat y-\hat b\overline{x}=50-6.5×5=17.5$
所以线性回归方程为：$\hat y=6.5x+17.5$--------------------------（4分）
（Ⅱ）$\sum_{i=1}^5{（{y_i}}-{\hat y_i}{）^2}=155$，$\sum_{i=1}^5{（{y_i}}-\bar y{）^2}=1000$；--------（1分）
${R^2}=1-\frac{{\sum_{i=1}^5{{{（{y_i}-{{\hat y}_i}）}^2}}}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}}}$=$1-\frac{155}{1000}=0.845$．-----------------（3分）
即相关系数R²为0.845，证明残差变量对销售额的影响占15.5%．---（4分）

点评 本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程的求法，是一个综合题目，这种题目符合新课标的大纲要求，是一个典型的题目．