Question

18．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x-3）=-f（x），对?x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，则有（　　）

• A． f（49）＜f（64）＜f（81）
• B． f（49）＜f（81）＜f（64）
• C． f（64）＜f（49）＜f（81）
• D． f（64）＜f（81）＜f（49）

Answer 1

分析 根据题意，由f（x-3）=-f（x）分析可得f（x-6）=-f（x-3）=f（x），则函数f（x）是周期为6的函数，进而可得f（49）=f（1+6×8）=f（1），f（81）=f（-3+6×14）=f（-3），f（64）=f（-2+6×11）=f（-2），进而结合函数的奇偶性可得则f（49）=f（1+6×8）=f（1），f（81）=f（-3）=f（3），f（64）=f（-2）=f（2），进而结合题意分析可得函数f（x）在区间[0，3]上为增函数，进而有f（1）＜f（2）＜f（3），即f（49）＜f（64）＜f（81）；即可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）满足f（x-3）=-f（x），
有f（x-6）=-f（x-3）=f（x），则函数f（x）是周期为6的函数，
f（49）=f（1+6×8）=f（1），
f（81）=f（-3+6×14）=f（-3），
f（64）=f（-2+6×11）=f（-2），
又由函数为偶函数，则f（49）=f（1+6×8）=f（1），
f（81）=f（-3）=f（3），
f（64）=f（-2）=f（2），
又由对?x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
则函数f（x）在区间[0，3]上为增函数，
进而有f（1）＜f（2）＜f（3），
即f（49）＜f（64）＜f（81）；
故选：A

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合运用，涉及函数周期性的判定与应用，注意由$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0判断出函数的单调性．