Question

把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2^i-1个正整数，设a_ij（i，j∈N*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右第j个数．
（1）若a_ij=2010，求i和j的值；
（2）记A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N*），求证：当n≥4时，A_n＞n+

C

3 n

．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由题目中图中数的排列规律，我们发现图中是把正整数按从小下大、左小右大的原则进行排列，且第i行的第一个数是2^i-1，由此不难推断2010的位置．
（2）利用等差数列和等比数列的前n项和公式可得A_n，再利用二项式定理可证明．

解答： （1）解：数表中前n行共有1+2+2²++2^n-1=2ⁿ-1个数，
即第i行的第一个数是2^i-1，
∴a_ij=2^i-1+j-1．
∵2¹⁰＜2010＜2¹¹，a_ij=2010，
∴i=11．
令2¹⁰+j-1=2010，
解得j=2010-2¹⁰+1=987．
（2）证明：由（1）可得a_nn=2^n-1+n-1
∴A_n=a₁₁+a₂₂+…+a_nn
=（2⁰+0）+（2¹+1）+（2²+2）+…+（2^n-1+n-1）
=（2⁰+2¹+…+2^n-1）+（0+1+2+…+n-1）=2n-1+

n(n-1)

2

，
当n≥4时，A_n=（1+1）ⁿ-1+

n(n-1)

2

＞

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

-1+

n(n-1)

2

=n+

C

3 n

．

点评：本题以表格的形式给出正整数的排序方式，其关键是由表中的排序观察总结出每行的第一个数等比的规律及每行内的数成等差的规律，从而得出任意一个数的通项公式，结合通项的特点，又考查了分组求和的方法，从而培养学生的观察、发现、总结规律的能力，综合运用公式的能力．