Question

3．点F为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a，b＞0）的焦点，过点F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，与另一条渐近线交于点B．若3$\overrightarrow{AF}$+$\overrightarrow{BF}$=0，则双曲线C的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 联立直线方程解得A，B的坐标，再由向量共线的坐标表示，解得双曲线的a，b，c和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
设F（c，0），由OA⊥FA，
且OA的方程为y=$\frac{b}{a}$x，OB的方程为y=-$\frac{b}{a}$x，
直线AB的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}\right.$解得A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}\right.$解得B（$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}-{b}^{2}}$）
由3$\overrightarrow{AF}$+$\overrightarrow{BF}$=0，即3$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow{0}$，
即3（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，$\frac{ab}{c}$）+（$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$-c，-$\frac{abc}{{a}^{2}-{b}^{2}}$）=0
可得3（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c）+$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$-c=0，
即3a²+$\frac{{c}^{2}{a}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$=4c²，
由b²=c²-a²，化简可得3a⁴-5a²c²+2c⁴=0，
即（a²-c²）（3a²-2c²）=0，
即a²=c²，（舍）或3a²=2c²，
即c²=$\frac{3}{2}$a²，c=$\sqrt{\frac{3}{2}}$a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：B．

点评 本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，注意运用向量共线的坐标表示，考查运算能力，求出交点坐标，结合向量关系进行求解是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．