Question

8．已知{a_n}为各项均为正整数的等差数列，a₁+a₂₇=572，且存在正整数m，使得a₁，a₁₄，a_m成等比数列，则所有满足条件的{a_n}中，公差的最大值与最小值的差为21．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，结合方程有正整数解，通过列举法，即可得到公差的最值，可得之差．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
a₁+a₂₇=572，即为a₁+13d=286，①
又存在正整数m，使得a₁，a₁₄，a_m成等比数列，
可得a₁₄²=a₁a_m，即为（a₁+13d）²=a₁（a₁+（m-1）d），
可得d=0或169d=a₁（m-27），②
由于{a_n}的各项均为正整数，m为正整数，则d≥0，
由①②可得，m-27=$\frac{169d}{286-13d}$=$\frac{13}{\frac{22}{d}-1}$，
可得d=21，a₁=13，m=300；d=20，a₁=26，m=157；
d=11，a₁=143，m=40；d=0，a₁=286，m=27．
综上可得d的最大值为21，最小值为0，
故公差的最大值与最小值的差为21．
故答案为：21．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，等比数列的中项的性质，考查方程思想的运用，以及运算化简能力，属于中档题．