Question

20．函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$，则函数f（x）在区间$[{\frac{π}{8}，\frac{π}{3}}]$上的最小值为1．

Answer 1

分析 降幂后利用辅助角公式化积，再由x的范围求出相位的范围求得函数的最小值．

解答 解：$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
∵x∈$[{\frac{π}{8}，\frac{π}{3}}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈$[$\frac{5π}{12}，\frac{5π}{6}$]，
∴当2x$+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，即x=$\frac{π}{3}$时，函数f（x）在区间$[{\frac{π}{8}，\frac{π}{3}}]$上有最小值为1．
故答案为：1．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，训练了利用辅助角公式化积，是中档题．