Question

7．如图，已知F（1，0）为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点，离心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）P为椭圆上一点，椭圆在P点处的切线与直线x=c和右准线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$分别交于点M，N．
①若P（0，1），求$\frac{MF}{NF}$的值；
②探究当P在椭圆上移动时，$\frac{MF}{NF}$的值是否为定值？若是，求出此定值，否则，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意c=1，a=$\sqrt{2}$，b=1，即可求椭圆的方程；
（2）①若P（0，1），则M（1，1），N（2，1），即可求$\frac{MF}{NF}$的值；
②求出切线方程，利用两点间的距离公式，再代入化简，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）①若P（0，1），则M（1，1），N（2，1），
∴$\frac{MF}{NF}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②设P（m，n），则切线方程为$\frac{mx}{2}$+ny=1，
设方程为y=kx+t，则k=-$\frac{m}{2n}$，t=-$\frac{1}{n}$，
∴t²=2k²+1，∴M（1，k+b），N（2，1-2k+b），
∴（$\frac{MF}{NF}$）²=$\frac{{k}^{2}+{b}^{2}+2kb}{4{k}^{2}+4kb+{b}^{2}+1}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{MF}{NF}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
综上所述，当P在椭圆上移动时，$\frac{MF}{NF}$的值是定值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．