Question

7．已知递增的等差数列{a_n}（n∈N^*）的首项a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比数列，则数列{a_n}的通项公式a_n=n；a₄+a₈+a₁₂+…+a_4n+4=2n²+6n+4．

Answer 1

分析 通过记递增的等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），利用a₁，a₂，a₄成等比数列可知公差d=1，进而可知数列{a_n}是首项、公差均为1的等差数列，计算即得结论．

解答 解：记递增的等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），
由a₁=1可知，a₂=1+d，a₄=1+3d，
又∵a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴${{a}_{2}}^{2}$=a₁a₄，即（1+d）²=1+3d，
整理得：d²=d，
解得：d=1或d=0（舍），
∴数列{a_n}是首项、公差均为1的等差数列，
∴a_n=n，
∴数列{a_4n+4}是首项为4、公差为4的等差数列，
∴a₄+a₈+a₁₂+…+a_4n+4=4（n+1）+$\frac{n（n+1）}{2}$•4=2n²+6n+4，
故答案为：n，2n²+6n+4．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．