题目内容
17．已知x＞1，则logx9+log27x的最小值是$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．分析 直接利用基本不等式，即可求出logx9+log27x的最小值．
解答 解：∵x＞1，
∴logx9＞0，log27x＞0，
∴${log_x}9+{log_{27}}x=\frac{2lg3}{lgx}+\frac{lgx}{3lg3}≥2\sqrt{\frac{2lg3}{lgx}•\frac{lgx}{3lg3}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$（当且仅当$\frac{2lg3}{lgx}=\frac{lgx}{3lg3}$，即$x={3^{\sqrt{6}}}$取等号）．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．
点评 本题考查利用基本不等式求logx9+log27x的最小值，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键．
练习册系列答案
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| A． | （-1，$\frac{{{e^2}-1}}{2e-1}$） | B． | （1，+∞） | C． | （$\frac{{{e^2}-1}}{2e-1}$，2） | D． | （$\frac{{{e^2}-1}}{2e-1}$，+∞） |