Question

12．如图，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和抛物线C₂：y²=2px（p＞0）都经过点M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），且椭圆C₁的右焦点和抛物线C₂的焦点F₂相同．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）过F₂作斜率为k的直线l和抛物线C₂相交于A，B两点，直线l和椭圆C₁相交于C，D两点，如图，当△CDF₁的面积和△ABO的面积相等时，求斜率k的值．

Answer 1

分析 （1）点M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）代入抛物线C₂：y²=2px，求出p，可得抛物线的方程，利用椭圆的定义，可得椭圆的方程；
（2）设直线方程为x=my+1，与抛物线C₂：y²=4x、椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1联立，利用△CDF₁的面积和△ABO的面积相等，建立方程，求出m，即可求斜率k的值．

解答 解：（1）点M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）代入抛物线C₂：y²=2px，可得（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）²=2p×$\frac{2}{3}$，∴p=2，
∴抛物线C₂：y²=4x，焦点F₂（1，0），
|MF₁|+|MF₂|=$\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}$+$\sqrt{（-\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=4=2a，
∴a=2，∴b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设直线方程为x=my+1，则
与抛物线C₂：y²=4x联立，可得y²-4my-4=0，∴△ABO的面积=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{16{m}^{2}+16}$=2$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
与椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1联立，可得（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴△CDF₁的面积=$\frac{1}{2}×2×$$\sqrt{（-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}+\frac{36}{3{m}^{2}+4}}$=$\sqrt{（-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}+\frac{36}{3{m}^{2}+4}}$，
∴$\sqrt{（-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}+\frac{36}{3{m}^{2}+4}}$=2$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
∴m=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查抛物线、椭圆的方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查面积的计算，属于中档题．