Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=29，S₁₀=S₂₀，
（1）问这个数列的前多少项和最大？并求此最大值．
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n公式．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列前n项和公式求出d=-2，由此能求出a_n=-2n+31．由

-2n+31≥0 -2(n+1)+31≤0

，解得14.5≤n≤15.5，从而得到当n=15时，S_n最大，并能求出最大值．
（2）由a₁=29，d=-2，得S_n=30n-n²．从而得到n≤15时，Tn=Sn=30n-n2；n≥16时T_n=2S₁₅-S_n，由此能求出结果．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}中，a₁=29，S₁₀=S₂₀，
∴10×29+

10×9

2

d=20×29+

20×19

2

d，
解得d=-2，
∴a_n=-2n+31．
设这个数列的前n项和最大，
则需

-2n+31≥0 -2(n+1)+31≤0

，解得14.5≤n≤15.5，
∵n∈N^*，∴n=15，
∴当n=15时，S_n最大，最大值为S15=15×29+

15×14

2

×(-2)=225．
（2）∵a₁=29，d=-2，
∴S_n=29n+

n(n-1)

2

×(-2)=30n-n²．
∵数列{|a_n|}的前n项和T_n，
∴n≤15时，Tn=Sn=30n-n2；
n≥16时，T_n=2S₁₅-S_n=n²-30n+450．
∴Sn=

30n-n2，n≤15 n2-30n+450，n≥16

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的最大值的求法，考查数列的前n的各项绝对值的和的求法，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．