Question

【题目】在如图所示的多面体中，平面平面，四边形为边长为2的菱形， 为直角梯形，四边形为平行四边形，且， ， .

（1）若， 分别为， 的中点，求证： 平面；

（2）若， 与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）第（1）问，转化成证明平面 ,再转化成证明和.(2)第（2）问，先利用几何法找到与平面所成角，再根据与平面所成角的正弦值为求出再建立空间直角坐标系，求出二面角的余弦值.

试题解析：

（1）连接,因为四边形为菱形，所以.

因为平面平面，平面平面， 平面， ，所以平面.

又平面，所以.

因为，所以.

因为，所以平面.

因为分别为， 的中点，所以，所以平面

（2）设，由（1）得平面.

由， ，得， .

过点作，与的延长线交于点，取的中点，连接， ，如图所示，

又，所以为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面， 平面，故平面.

因为为平行四边形，所以，所以平面.

又因为，所以平面.

因为，所以平面平面.

由（1），得平面，所以平面，所以.

因为，所以平面，所以是与平面所成角.

因为， ，所以平面， 平面，因为，所以平面平面.

所以， ，解得.

在梯形中，易证，分别以， ， 的正方向为轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系.

则， ， ， ， ， ，

由，及，得，所以， ， .

设平面的一个法向量为，由得令，得m=(3,1,2)

设平面的一个法向量为，由得令，得.

所以

又因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值是.