Question

【题目】已知函数．

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数a的值；

（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；

（3）当时，若方程有两个相异实根，，，求证．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）先利用导数的几何意义求出切线斜率，进而利用两直线的垂直关系建立参数所满足的方程进行求解；

（2）将函数的单调性转化为导函数的符号不变性进而分离参数，将不等式恒成立转化为新函数的最值问题，再利用导数求解最值，从而求得实数的取值范围；

（3）当时，若方程有两个相异实根，，，即，令，讨论的单调性，得，令，，

设，，求的单调性，得，即，结合的单调性即可证得结论.

（1）依题意知的定义域为，

求导得，

根据题意的斜率为，

所以在处的切线斜率为3，

即，.

（2）令，

依题意有对恒成立，即恒成立，

，

单调递减，，

实数a的取值范围为.

（3）当时，若方程有两个相异实根，，，

即，

又令，，

在上递减，递增，则，，且，

又，故，，，，

，

设，，，

在递增，，

，又在上递减，

，即.