题目内容
已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=
，且f（e）=
，则f（x）的单调性情况为（ ）
| lnx |
| x |
| 1 |
| 2e |
| A、先增后减 | B、单调递增 |
| C、单调递减 | D、先减后增 |
考点：导数的运算
专题：导数的概念及应用,导数的综合应用
分析：由xf′（x）+2f（x）=
，得：x2f′（x）+2xf（x）=lnx，即[x2f（x）]′=lnx，故x2f（x）=xlnx-x+c，由f（e）=
，求出c值，进而利用导数法分析出f′（x）≤0恒成立，进而可得函数的单调性．
| lnx |
| x |
| 1 |
| 2e |
解答：
解：∵xf′（x）+2f（x）=
，
∴x2f′（x）+2xf（x）=lnx
∴[x2f（x）]′=lnx，
∴x2f（x）=xlnx-x+c，
将x=e代入可得：
e2f（e）=elne-e+c，
∵f（e）=
，
∴c=
∴x2f（x）=xlnx-x+
，
∴f（x）=
∴f′（x）=
=
，
令g（x）=-xlnx+2x-e，
则g′（x）=1-lnx，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，
故当x=e时，g（x）取最大值0，
故g（x）≤0恒成立，
故f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）是减函数．
故选：C
| lnx |
| x |
∴x2f′（x）+2xf（x）=lnx
∴[x2f（x）]′=lnx，
∴x2f（x）=xlnx-x+c，
将x=e代入可得：
e2f（e）=elne-e+c，
∵f（e）=
| 1 |
| 2e |
∴c=
| e |
| 2 |
∴x2f（x）=xlnx-x+
| e |
| 2 |
∴f（x）=
| 2xlnx-2x+e |
| 2x2 |
∴f′（x）=
| 4x2lnx-8x2lnx+8x3-4ex |
| 4x4 |
| -xlnx+2x-e |
| x3 |
令g（x）=-xlnx+2x-e，
则g′（x）=1-lnx，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，
故当x=e时，g（x）取最大值0，
故g（x）≤0恒成立，
故f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）是减函数．
故选：C
点评：本题考查的知识点是导数的运算，导数在求函数最值时的应用，是导数的综合应用，难度大，运算量大，属于难题．
练习册系列答案
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下列命题中，正确的是（ ）
| A、一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行 |
| B、平面α⊥β，直线m⊥β，则m∥α |
| C、直线l是平面α的一条斜线，且l?β，则α与β必不垂直 |
| D、直线l⊥平面α，直线l∥平面β，则α⊥β |
已知函数f（x）=sinxcosx+1，将f（x）的图象向左平移
个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调减区间为（ ）
| π |
| 6 |
A、[
| ||||
B、[
| ||||
C、[
| ||||
D、[
|
已知集合A={-1，0，1，2，3}，B={x∈R|
＜2}，则A∩B=（ ）
| 3 |
| x |
| A、{1，2，3} |
| B、{2，3} |
| C、{-1，2，3} |
| D、{-1，1，2} |
一个几何体的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A、4
| ||
B、8
| ||
C、16
| ||
D、32
|