Question

5．已知点A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）都在抛物线y²=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A（2，8）在抛物线y²=2px，（p＞0）上，利用待定系数法能求出抛物线方程．
（2）由已知条件知F（8，0）是线段AM的定比分点，且$\frac{AF}{FM}$=2，由此能求出点M的坐标．

解答 解：（1）∵点A（2，8）在抛物线y²=2px，（p＞0）上，
∴64=4p，解得p=16，
∴抛物线方程为y²=32x，焦点F的坐标为F（8，0）．
（2）如图，∵F（8，0）是△ABC的重心，M是BC中点，
∴F是线段AM的定比分点，且$\frac{AF}{FM}$=2，
设点M的坐标为（x₃，y₃），
则$\frac{2+2{x}_{3}}{1+2}$=8，$\frac{8+2{y}_{3}}{1+2}$=0，
解得x₃=11，y₃=-4，
∴点M的坐标为M（11，-4）．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查线段中点坐标的求法，解题时要认真审题，注意定比分点公式的合理运用．