Question

10．双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=$\frac{4}{3}$x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为y=±2x．

Answer 1

分析 求得双曲线的右焦点，将直线y=$\frac{4}{3}$x代入双曲线方程，求得x²=$\frac{9{a}^{2}{b}^{2}}{9{b}^{2}-16{a}^{2}}$，则设A（x，$\frac{4}{3}x$），B（-x，-$\frac{4}{3}x$），$\overrightarrow{FA}$=（x-c，$\frac{4}{3}x$），$\overrightarrow{FB}$=（-x-c，-$\frac{4}{3}x$），由$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c²=$\frac{25}{9}$x²，由双曲线的方程可知：c²=a²+b²，代入即可求得（b²-4a²）（9b²+4a²）=0，则可知b²-4a²=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±$\frac{b}{a}$x=±2x．

解答 解：由题意可知：双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得：（9b²-16a²）x²=9a²b²，即x²=$\frac{9{a}^{2}{b}^{2}}{9{b}^{2}-16{a}^{2}}$，
∴A与B关于原点对称，设A（x，$\frac{4}{3}x$），B（-x，-$\frac{4}{3}x$），
$\overrightarrow{FA}$=（x-c，$\frac{4}{3}x$），$\overrightarrow{FB}$=（-x-c，-$\frac{4}{3}x$），
∵AF⊥BF，
∴$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，即（x-c）（-x-c）+$\frac{4}{3}x$×（-$\frac{4}{3}x$）=0，
整理得：c²=$\frac{25}{9}$x²，
∴a²+b²=$\frac{25}{9}$×$\frac{9{a}^{2}{b}^{2}}{9{b}^{2}-16{a}^{2}}$，即9b⁴-32a²b²-16a⁴=0，
∴（b²-4a²）（9b²+4a²）=0，
∵a＞0，b＞0，
∴9b²+4a²≠0，
∴b²-4a²=0，
故b=2a，
双曲线的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x=±2x，
故答案为：y=±2x．

点评 本题考查双曲线与直线的位置关系，向量数量积的坐标表示，向量垂直的充要条件，双曲线的渐近线方程，考查计算能力，属于中档题．