Question

16．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M是棱CC₁的中点．
（1）证明：B₁M⊥平面ABM；
（2）求异面直线A₁M和C₁D₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）可根据题中条件计算得出AB⊥BM，BM⊥B₁M然后再根据面面垂直的判定定理即可得证．
（2）由于C₁D₁∥B₁A₁故根据异面直线所成角的定义可知∠MA₁B₁为异面直线A₁M和C₁D₁所成的角然后在解三角形MA₁B₁求出∠MA₁B₁的正切值即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AB⊥面BCC₁B₁，BM?面BCC₁B₁
∴AB⊥B₁M①
∵B₁M=$\sqrt{2}$，BM=$\sqrt{2}$，B₁B=2
∴BM⊥B₁M②
∵AB∩BM=B
∴由①②可知B₁M⊥平面ABM．
（2）解：如图，因为C₁D₁∥B₁A₁，所以∠MA₁B₁为异面直线A₁M和C₁D₁所成的角，
∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁
∴∠A₁B₁M=90°
∵A₁B₁=1，B₁M=$\sqrt{2}$
∴tan∠MA₁B₁=$\sqrt{2}$
即异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值为$\sqrt{2}$．
∴异面直线A₁M和C₁D₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明，属常考题型．解题的关键是要掌握异面直线所成角的定义（即将异面直线转化为相交直线所成的角）和面面垂直的判定定理．