Question

17．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，A=$\frac{π}{3}$，且$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$-sin（B-C）=sin2B，则△ABC面积为$\sqrt{3}$或$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosBsinC=sinBcosB，分类讨论利用三角形的面积公式即可得解．

解答 解：∵a=2，A=$\frac{π}{3}$，且$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$-sin（B-C）=sin2B，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=sin（B-C）+sin2B，可得：sinA=sin（B+C）=sin（B-C）+sin2B，
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC-cosBsinC+2sinBcosB，
∴可得：cosBsinC=sinBcosB，
∴当cosB=0时，可得：
         B=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{6}$，
         S_△ABC=$\frac{1}{2}$ac=$\frac{1}{2}×2×$2×tan$\frac{π}{6}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；
当cosB≠0时，可得：
        sinB=sinC，由正弦定理可得：b=c，可得a=b=c=2，
         S_△ABC=$\frac{1}{2}$ac=$\frac{1}{2}×2×$2×sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$或$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．