Question

15．已知圆O：x²+y²=4，点P为直线l：x=4上的动点．
（1）若从点P作圆O的切线，点P到切点的距离为$2\sqrt{3}$，求点P的坐标以及两条切线所夹劣弧长；
（2）若A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）．

Answer 1

分析 根据题意，设P（4，t）．
（I）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，由题意可知|PO|²=|OC|²+|PC|²，即4²+t²=4+12，解得t=0，所以点P坐标为（4，0），由此能够求出两切线所夹劣弧长；
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（1，0），依题意，直线PA经过点A（-2，0），P（4，t），可以设AP：y=$\frac{t}{6}$（x+2），和圆x²+y²=4联立，代入消元得到，（t²+36）x²+4t²x+4t²-144=0，因为直线AP经过点A（-2，0），M（x₁，y₁），所以-2，x₁是方程的两个根，然后由根与系数的关系进行求解．

解答 解：根据题意，设P（4，t）．
（1）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，
由题意可知|PO|²=|OC|²+|PC|²，即4²+t²=4+12（2分）
解得t=0，所以点P坐标为（4，0）．（3分）
在Rt△POC中，易得∠POC=60°．（4分）
所以两切线所夹劣弧长为$\frac{2π}{3}×2=\frac{4π}{3}$．（5分）
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（1，0），
依题意，直线PA经过点A（-2，0），P（4，t），
可以设AP：y=$\frac{t}{6}$（x+2），（6分）
和圆x²+y²=4联立，代入消元得到，（t²+36）x²+4t²x+4t²-144=0，（7分）
因为直线AP经过点A（-2，0），M（x₁，y₁），所以-2，x₁是方程的两个根，
所以有-2x₁=$\frac{4{t}^{2}-144}{{t}^{2}+36}$，x₁=$\frac{72-2{t}^{2}}{{t}^{2}+36}$，（8分）
代入直线方程y=$\frac{t}{6}$（x+2），得y₁=$\frac{24t}{{t}^{2}+36}$．（9分）
同理，设BP：y=$\frac{t}{2}$（x-2），和圆x²+y²=4联立，代入消元得到（4+t²）x²-4t²x+4t²-16=0，
因为直线BP经过点B（2，0），N（x₂，y₂），所以2，x₂是方程的两个根，x₂=$\frac{2{t}^{2}-8}{{t}^{2}+4}$，
代入y=$\frac{t}{2}$（x-2），得到y₂=$\frac{-8t}{{t}^{2}+4}$．（11分）
若x₁=1，则t²=12，此时x₂=$\frac{2{t}^{2}-8}{{t}^{2}+4}$=1
显然M，Q，N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q（1，0）（12分）
若x₁≠1，则t²≠12，x₂≠1，
所以有k_MQ=$\frac{8t}{12-{t}^{2}}$，k_NQ=$\frac{8t}{12-{t}^{2}}$，（13分）
所以k_MQ=k_NQ，所以M，N，Q三点共线，
即直线MN经过定点Q（1，0）．
综上所述，直线MN经过定点Q（1，0）．（14分）

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．