Question

5．若以O为极点，在极坐标系Ox中，曲线C₁的极坐标方程为ρ=$\frac{{\sqrt{2}}}{{sin（{θ+\frac{π}{4}}）}}$；以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系xOy，曲线C₂为椭圆，且以C₁与x轴的交点F为焦点，C₂参数方程的横坐标表示为x=4cosα．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程和C₂参数方程的纵坐标表达式；
（2）定点P为C₁上θ=$\frac{π}{4}$的点，动点M在C₂上，求|MP|+|MF|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标互化方法求曲线C₁的直角坐标方程和C₂参数方程的纵坐标表达式；
（2）利用椭圆的定义，进行转化，即可求|MP|+|MF|的取值范围．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为ρ=$\frac{{\sqrt{2}}}{{sin（{θ+\frac{π}{4}}）}}$=$\frac{2}{sinθ+cosθ}$，∴x+y=2，∴F（2，0）；
由题意，曲线C₂为椭圆，c=2，a=4，∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
∴C₂参数方程的纵坐标表达式为y=2$\sqrt{3}$sinα；
（2）定点P（1，1），设左焦点为F₁，|PF₁|=$\sqrt{10}$
∴|MP|+|MF|=|MP|+8-|MF₁|，
∴8-$\sqrt{10}$≤|MP|+|MF|$≤8+\sqrt{10}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，属于中档题．