Question

4．如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=BC=2AC=2，D为AA₁的中点．
（1）求证：CD⊥B₁C₁；
（2）求三棱锥C₁-B₁CD的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出BC⊥CC₁，AC⊥BC，由此能证明CD⊥B₁C₁．
（2）求出D到平面B₁C₁C的距离d=AC=1，三棱锥C₁-B₁CD的体积${V}_{{C}_{1}-{B}_{1}CD}={V}_{D-{B}_{1}{C}_{1}C}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥CC₁，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，
∵CD?平面ACC₁A₁，∴CD⊥B₁C₁．
解：（2）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，
AA₁=BC=2AC=2，D为AA₁的中点．
∴D到平面B₁C₁C的距离d=AC=1，
∴三棱锥C₁-B₁CD的体积：
${V}_{{C}_{1}-{B}_{1}CD}={V}_{D-{B}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{B}_{1}{C}_{1}C}×AC$=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×2）×1$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．