Question

15．已知函数f（x）=ax²+xlnx+b，（a，b∈R）的图象在（1，f（1））处的切线方程为3x-y-4=0．
（1）求实数a，b的值；
（2）若存在k∈Z，使f（x）＞k恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=3，f（1）=-1，求出a，b的值即可；（2）求出f（x）的导数，求出函数f（x）的单调性，从而求出k的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=2ax+lnx+1，f′（1）=2a+1，依题意得f′（1）=3，∴a=1
又f（1）=-1，∴a+b=-1，∴b=-2综上：a=1，b=-2…（5分）
（2）∵f′（x）=2x+lnx+1，设g（x）=2x+lnx+1，${g^/}（x）=2+\frac{1}{x}$，…（5分）
∵x∈（0，+∞），g′（x）＞0，$g（\frac{1}{e^2}）=\frac{2}{e^2}-1＜0$，
$g（\frac{1}{2}）=2-ln2＞0$，$?{x_0}∈（0，\frac{1}{2}）$，g（x₀）=0…（7分）；
$x∈（0，{x_0}），g（x）＜0，{f^/}（x）＜0$，f（x）是减函数；
$x∈（{x_0}，+∞），g（x）＞0，{f^/}（x）＞0$，f（x）是增函数；
∴$x={x_0}，f{（x）_{min}}=f（{x_0}）={x_0}^2+{x_0}ln{x_0}-2$，…（9分）
又2x₀+lnx₀+1=0，∴lnx₀=-2x₀-1，
$f（{x_0}）=-{x_0}^2-{x_0}-2=-{（{x_0}+\frac{1}{2}）^2}-\frac{7}{4}$，
∵${x_0}∈（0，\frac{1}{2}）$，∴$f（{x_0}）∈（-\frac{11}{4}，-2）$，…（10分）
∴f（x）＞k恒成立，
所以$k≤-\frac{11}{4}$…（11分）
又k∈Z，所以k_max=-3…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及曲线的切线方程问题，是一道中档题．