Question

1．若0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则cos（α+$\frac{β}{2}$）=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $-\frac{{\sqrt{6}}}{9}$

Answer 1

分析 由已知求出sin（$α+\frac{π}{4}$），cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）的值，然后利用拆角配角方法求得cos（α+$\frac{β}{2}$）．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}＜α+\frac{π}{4}＜\frac{3}{4}π$，
又cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，∴sin（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵-$\frac{π}{2}$＜β＜0，∴$\frac{π}{4}＜\frac{π}{4}-\frac{β}{2}＜\frac{π}{2}$，
又sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
则cos（α+$\frac{β}{2}$）=cos[（$α+\frac{π}{4}$）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）]=cos（$α+\frac{π}{4}$）cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）+sin（$α+\frac{π}{4}$）sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）
=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查两角和与差的余弦，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．