Question

已知命题A：函数f（x）=x²-4mx+4m²+2在区间[-1，3]上的最小值为2；命题B：g（x）=

2x-m，x≥m m，x＜m

且g（x）＞1对任意x∈R恒成立；命题C：{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x²-4≥0}．
（1）若A、B、C中至少有一个为真命题，试求实数m的取值范围；
（2）若A、B、C中恰有一个为假命题，试求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：根据二次函数的图象和性质，求出A为真时，实数m的取值范围；根据分段函数的图象和性质，求出B为真时，实数m的取值范围；根据子集的定义，求出C为真时，实数m的取值范围；
（1）求出A、B、C全为假时，实数m的取值范围，其补集即为所求；
（2）分别求出A真，B，C为假，B真，A，C为假，C真，A，B为假时，实数m的取值范围，综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：∵函数f（x）=x²-4mx+4m²+2在当x=2m时，取最小值2，
若函数f（x）=x²-4mx+4m²+2在区间[-1，3]上的最小值为2，
则2m∈[-1，3]，
即命题A为真时，m∈[-

1

2

，

3

2

]，
则命题A为假时，m∈（-∞，-

1

2

）∪（

3

2

，+∞），
若g（x）=

2x-m，x≥m m，x＜m

且g（x）＞1对任意x∈R恒成立，则m＞1，
即命题B为真时，m∈（1，+∞），
则命题B为假时，m∈（-∞，1]，
若{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x²-4≥0}=（-∞，-2]∪[2，+∞）．
则m＞2m+1，或m≤2m+1≤-2，或2≤m≤2m+1，
解得：m∈（-∞，-1）∪[2，+∞），
即命题C为真时，m∈（-∞，-1）∪[2，+∞），
则命题C为假时，m∈[-1，2），
（1）若A、B、C全为假命题，则m∈[（-∞，-

1

2

）∪（

3

2

，+∞）]∩（-∞，1]∩[-1，2）=[-1，-

1

2

），
故A、B、C中至少有一个为真命题时，m∈（-∞，-1）∪[-

1

2

，+∞），
（2）若A真，B，C为假，则m∈[-

1

2

，

3

2

]∩（-∞，1]∩[-1，2）=[-

1

2

，1]，
若B真，A，C为假，则m∈[（-∞，-

1

2

）∪（

3

2

，+∞）]∩（1，+∞）∩[-1，2）=（

3

2

，2），
若C真，A，B为假，则m∈[（-∞，-

1

2

）∪（

3

2

，+∞）]∩（-∞，1]∩[（-∞，-1）∪[2，+∞）]=（-∞，-1]，
综上所述，若A、B、C中恰有一个为假命题，则m∈（-∞，-1]∪[-

1

2

，1]∪（

3

2

，2）

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，二次函数的图象和性质，段函数的图象和性质，恒成立问题，子集的定义，综合性强，难度中档．