Question

12．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{7}cosθ}\\{y=\sqrt{7}sinθ}\end{array}}\right.（θ是参数）$，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l₁：$2ρsin（θ+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}=0$，射线${l_2}：θ=\frac{π}{3}（ρ＞0）$与曲线C的交点为P，l₂与直线l₁的交点为Q，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把参数方程消去参数，可得曲线C的普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C的极坐标方程．
（Ⅱ）利用极坐标方程求得P、Q的坐标，可得线段PQ的长．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{7}cosθ}\\{y=\sqrt{7}sinθ}\end{array}}\right.（θ是参数）$，普通方程为（x-1）²+y²=7，
x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，可得曲线C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-6=0；
（Ⅱ）设P（ρ₁，θ₁），则有$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}-2ρcosθ-6=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₁=3，θ₁=$\frac{π}{3}$，即P（3，$\frac{π}{3}$）．
设Q（ρ₂，θ₂），则有$\left\{\begin{array}{l}{2ρsin（θ+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}=0}\\{θ=\frac{π}{3}（ρ＞0）}\end{array}\right.$，解得ρ₂=1，θ₂=$\frac{π}{3}$，即Q（1，$\frac{π}{3}$），
所以|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=2．

点评 本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用以及极坐标的意义，属于基础题．