Question

下列5个命题中正确的序号是

 

．
（1）在等比数列{a_n}中a₂₀₁₃=1，则a₂₀₁₂+a₂₀₁₄的取值范围是[2，+∞）
（2）在直线上任取两点P₁，P₂，把向量

P1P2

叫做该直线的方向向量．则任意直线的方向向量都可以表示为向量（1，k）（k为该直线的斜率）
（3）已知G是△ABC的重心，且a

GA

+b

GB

+

3

GC

=

0

，其中a，b，c分别为角A、B、C的对边，则cosC=

5

8

（4）已知正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a1，则

1

m

+

4

n

的最小值为

3

2

（5）在空间中若一个n面体中有m个面是直角三角形，则称这个n面体的“直度”为

m

n

．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，那么四面体A-A₁B₁C₁的“直度”是0.5．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：（1）由题意得到a₂₀₁₂•a₂₀₁₄=1，举例说明命题不正确；
（2）对于斜率不存在的情况不成立，说明命题错误；
（3）由重心的性质结合已知及余弦定理求出cosC，说明命题错误；
（4）由等比数列的性质结合已知求得m+n=6，然后利用基本不等式求

1

m

+

4

n

的最小值说明命题正确；
（5）直接由题意取特殊情形说明命题错误．

解答： 解：对于（1），在等比数列{a_n}中a₂₀₁₃=1，则a₂₀₁₂•a₂₀₁₄=1，当a₂₀₁₂=a₂₀₁₄=-1时满足，∴a₂₀₁₂+a₂₀₁₄的取值范围是[2，+∞）不正确；
对于（2），在直线上任取两点P₁，P₂，把向量

P1P2

叫做该直线的方向向量．则斜率存在的直线的方向向量都可以表示为向量（1，k）（k为该直线的斜率），斜率不存在时不成立，命题（2）不正确；
对于（3），∵G是△ABC的重心，∴

GA

+

GB

+

GC

=

0

，∵a

GA

+b

GB

+

3

GC

=

0

，
∴a=b=

3

c．∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

5

6

，命题（3）不正确；
对于（4），设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
∵a₇=a₆+2a₅，则a₁•q⁶=a₁•q⁵+2a₁•q⁴
即q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），
若

aman

=4a1，则m+n=6，
则6（

1

m

+

4

n

））=（m+n）（

1

m

+

4

n

）=5+（

n

m

+

4m

n

）≥5+4=9，
则

1

m

+

4

n

≥

9

6

=

3

2

，命题（4）正确；
对于（5），由题意知四面体A₁-ABC有4个面，其中直角三角形有4个，则四面体A₁-ABC的直度为

4

4

=1，命题（5）不正确．
故答案为：（4）．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了平面向量在解题中的应用，考查了数列不等式，是中档题．