Question

5．设三个各项均为正整数的无穷数列{a_n}，{b_n}，{c_n}．记数列{b_n}，{c_n}的前n项和分别为S_n，T_n，若对任意的n∈N^*，都有a_n=b_n+c_n，且S_n＞T_n，则称数列{a_n}为可拆分数列．
（1）若${a_n}={4^n}$，且数列{b_n}，{c_n}均是公比不为1的等比数列，求证：数列{a_n}为可拆分数列；
（2）若a_n=5n，且数列{b_n}，{c_n}均是公差不为0的等差数列，求所有满足条件的数列{b_n}，{c_n}的通项公式；
（3）若数列{a_n}，{b_n}，{c_n}均是公比不为1的等比数列，且a₁≥3，求证：数列{a_n}为可拆分数列．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列通项公式求得S_n=$\frac{3（1-{4}^{n}）}{1-4}$=4ⁿ-1，T_n=$\frac{1-{4}^{n}}{1-3}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，则a_n=b_n+c_n，且S_n＞T_n，即可证明数列{a_n}为可拆分数列；
（2）由等差数列的通项公式转成$\left\{\begin{array}{l}{{d}_{1}+{d}_{2}=5}\\{{b}_{1}+{c}_{1}=5}\end{array}\right.$，由S_n＞T_n，利用等差数前n项和公式即可求得d₁≥d₂且b₁＞c₁，且d₁＞d₂，即可求得d₁，d₂，及c₁，b₁求得数列{b_n}，{c_n}的通项公式；
（3）q为无理数时，a₂=a₁q为无理数，与a_n∈N⁺，矛盾，q为有理数，可得，q=$\frac{b}{a}$=b∈N^*，则q∈N⁺，q≥2，a_n=a₁q^n-1=（a₁-1）q^n-1+q^n-1，令b_n=（a₁-1）q^n-1，c_n=q^n-1，且S_n＞T_n，数列{a_n}为可拆分数列．

解答 解：（1）证明：由${a_n}={4^n}$=4×4^n-1=3×4^n-1+3×4^n-1，b_n=3×4^n-1，c_n=3×4^n-1，
则S_n=$\frac{3（1-{4}^{n}）}{1-4}$=4ⁿ-1，T_n=$\frac{1-{4}^{n}}{1-3}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，
∴对任意的n∈N^*，都有a_n=b_n+c_n，且S_n＞T_n，
∴数列{a_n}为可拆分数列； …（3分）
（2）设数列{b_n}，{c_n}的公差分别为d₁，d₂，
由a_n=5n，得b₁+（n-1）d₁+c₁+（n-1）d₂=（d₁+d₂）n+b₁+c₁-d₁-d₂=5n，对任意的n∈N^*都成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{d}_{1}+{d}_{2}=5}\\{{b}_{1}+{c}_{1}-{d}_{1}-{d}_{2}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{d}_{1}+{d}_{2}=5}\\{{b}_{1}+{c}_{1}=5}\end{array}\right.$①…（5分）
由S_n＞T_n，得nb₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d₁＞nc₂+$\frac{n（n-1）}{2}$d₂，则（$\frac{{d}_{1}}{2}$-$\frac{{d}_{2}}{2}$）n²+（b₁-c₁-$\frac{{d}_{1}}{2}$+$\frac{{d}_{2}}{2}$）n＞0，
由n＞0，得（$\frac{{d}_{1}}{2}$-$\frac{{d}_{2}}{2}$）n+（b₁-c₁-$\frac{{d}_{1}}{2}$+$\frac{{d}_{2}}{2}$）＞0，对任意的n∈N^*成立．
则$\frac{{d}_{1}}{2}$-$\frac{{d}_{2}}{2}$≥0且（$\frac{{d}_{1}}{2}$-$\frac{{d}_{2}}{2}$）n+（b₁-c₁-$\frac{{d}_{1}}{2}$+$\frac{{d}_{2}}{2}$）＞0，即d₁≥d₂且b₁＞c₁②
由数列数列{b_n}，{c_n}各项均为正整数，则b₁，c₁，d₁，d₂均为正整数
当d₁=d₂时，由d₁+d₂=5，得d₁=d₂=$\frac{5}{2}$∉N^*不符；
∴d₁＞d₂③…（7分）
由①②③，得$\left\{\begin{array}{l}{{d}_{1}=4}&{{d}_{2}=1}\\{{b}_{1}=4}&{{c}_{1}=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{d}_{1}=4}&{{d}_{2}=1}\\{{b}_{1}=3}&{{c}_{1}=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{d}_{1}=3}&{{d}_{2}=2}\\{{b}_{1}=4}&{{c}_{1}=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{d}_{1}=3}&{{d}_{2}=2}\\{{b}_{1}=3}&{{c}_{1}=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}=4n}\\{{c}_{n}=n}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}=4n-1}\\{{c}_{n}=n+1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}=3n+1}\\{{c}_{n}=2n-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}=3n}\\{{c}_{n}=2n}\end{array}\right.$；．…（9分）
（3）证明：设a_n=a₁q^n-1，a₁∈N⁺，q＞0，q≠1，下面证明：q∈N⁺，q≥2，
当q为无理数时，a₂=a₁q为无理数，与a_n∈N⁺，矛盾．
故q为有理数，设q=$\frac{b}{a}$（a，b为正整数，且a，b互素）．…（11分）
此时a_n=a₁•$\frac{{b}^{n-1}}{{a}^{n-1}}$．则对任意的n∈N^*，a^n-1均为a₁的约数，则a^n-1=1，即a=1，
故q=$\frac{b}{a}$=b∈N^*，则q∈N⁺，q≥2，…（14分）
∴a_n=a₁q^n-1=（a₁-1）q^n-1+q^n-1，令b_n=（a₁-1）q^n-1，c_n=q^n-1，
则{b_n}，{c_n}各项均为正整数．
由a₁≥3，则a₁-≥2＞1则S_n＞T_n，
所以，数列{a_n}为可拆分数列．…（16分）

点评 本题为新定义题，考查阅读理解能力；考查一般与特殊思想、转化与化归思想；考查运算能力；考查分析探究推理能力，属于难题．