Question

20．已知双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1有相同的渐近线，且C₁的右焦点为F（$\sqrt{5}$，0），则双曲线C₁的方程为${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$．

Answer 1

分析 结合已知即可得$\frac{b}{a}$=2，c=$\sqrt{5}$，列方程解得a、b的值，即可求出双曲线C₁的方程．

解答 解：∵双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的渐近线方程为y=±2x，双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1有相同的渐近线，
∴$\frac{b}{a}$=2，
∵且C₁的右焦点为F（$\sqrt{5}$，0）．
∴c=$\sqrt{5}$，由a²+b²=c²
解得a=1，b=2，
∴双曲线C₁的方程为${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$．
故答案为${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$．

点评 本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，属基础题．