Question

1．已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（x-4），且f（x）在区间[-2，0]上有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+\frac{3}{2}x+5，-1≤x≤0}\\{{2}^{-x}+{2}^{x}，-2≤x＜-1}\end{array}\right.$，若方程f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x|+b恰好有4个不等的实数根，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （0，2）
• B． （2，$\frac{33}{8}$）
• C． （2，$\frac{19}{8}$）
• D． （$\frac{19}{8}$，$\frac{33}{8}$）

Answer 1

分析 作出函数图象，根据函数对称性可得f（x）和y=（$\frac{1}{2}$）^|x|+b在（0，+∞）上有2个交点，根据图象列出不等式解出b的范围．

解答 解：∵f（x）=f（x-4），∴f（x）的周期为4，
又f（x）是偶函数，作出f（x）和y=（$\frac{1}{2}$）^|x|+b在（0，+∞）上的函数图象如图所示：

∵y=f（x）与y=（$\frac{1}{2}$）^|x|+b都是偶函数，且方程f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x|+b恰好有4个不等的实数根，
∴f（x）和y=（$\frac{1}{2}$）^|x|+b在（0，+∞）上有2个交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}+b＞\frac{5}{2}}\\{\frac{1}{8}+b＜\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得2＜b＜$\frac{19}{8}$．
故选C．

点评 本题考查了分段函数的图象，函数的周期应用，函数零点与函数图象的关系，属于中档题．